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Fermat

24 marzo, 2016 - Biografías

Nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, y murió el 12 de enero de 1665, en Castres, Francia.  Su padre era un rico mercader del cuero y segundo cónsul de Beaumont-de-Lomagne. Pierre tenía un hermano y dos hermanas y prácticamente creció en su ciudad natal. Aunque hay poca evidencia en cuanto a su educación escolar, debió de haber ocurrido en el monasterio franciscano local.

Asistió a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos en la segunda mitad de la década de 1620. En Burdeos comenzó sus investigaciones matemáticas serias y en 1629 dio una copia de su restauración del Lugares Geométricos Planos de Apolonio a uno de los matemáticos ahí. En Burdeos estaba en comunicación con Beaugrand y durante este tiempo produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que entregó a Etienne d’Espagnet quien claramente compartía con Fermat sus intereses matemáticos.

De Burdeos, Fermat fue a Orleáns, donde estudió derecho en la Universidad. Recibió un grado en derecho civil y compró las oficinas de concejal en el parlamento de Toulouse. Así, en 1631 Fermat era abogado y oficial de gobierno en Toulouse y debido al oficio que ostentaba, adquirió el derecho a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.

Durante el resto de su vida vivió en Toulouse pero así como trabajaba ahí, también lo hacía en su ciudad natal de Beaumont-de-Lomagne y en el pueblo cercano de Castres. A partir de su designación el 14 de mayo de 1631 Fermat laboró en la cámara baja del parlamento, pero el 16 de enero de 1638 fue asignado a una cámara más alta. Después, en 1652, fue promovido al más alto nivel en la corte penal. Posteriores promociones parecen indicar un carrera meteórica a través de su profesión, pero la promoción tuvo lugar fundamentalmente en su edad madura cuando la plaga golpeó la región al principio de la década de 1650 por lo que muchas personas de edad avanzada fallecieron. El mismo Fermat cayó enfermo por la plaga y en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada, y después corregida:

Informé anteriormente la muerte de Fermat. Él vive y ya no tememos por su salud, aun cuando hace poco tiempo lo habíamos contado entre los muertos.

El siguiente informe, dirigido a Colbert, la principal figura en Francia en aquella época, tenía un halo de verdad:

Fermat, un hombre de gran erudición, tenía comunicación con intelectuales de todas partes. Pero está bastante preocupado, no informa los casos bien y está confundido.

Por supuesto, Fermat estaba preocupado por las matemáticas. Mantenía su amistad matemática con Beaugrand después de mudarse a Toulouse pero ahí encontró una nueva amistad matemática en Carcavi. Fermat conoció a Carcavi en su calidad  profesional, ya que ambos eran concejales en Toulouse y compartían su amor por las matemáticas, y Fermat le contó a Carcavi acerca de sus descubrimientos matemáticos.

En 1636 Carcavi fue a París como bibliotecario real y estableció comunicación con Mersenne y su grupo. Las descripciones de los descubrimientos de Fermat sobre caída de cuerpos que le hizo Carcavi despertaron el interés de Mersenne y le escribió a Fermat. Éste respondió el 26 de abril de 1636 y, además de decirle a Mersenne acerca de errores que él pensaba que Galileo había cometido en su descripción de la caída libre; también le contó a  Mersenne sobre su trabajo acerca de espirales y su restauración del libro de Apolonio.

Es un tanto irónico que esta relación  inicial de Fermat con la comunidad científica surgiese a partir de su estudio de la caída libre, puesto que Fermat tenía poco interés en aplicaciones físicas de las matemáticas. Incluso con sus resultados sobre caída libre estaba más interesado en probar teoremas geométricos que en su relación con el mundo real. Esta primera carta contenía, sin embargo, dos problemas sobre máximos que había pedido a Mersenne que los distribuyera entre los matemáticos de París, lo cual mostraba el estilo típico de las cartas de Fermat, de querer desafiar a otros para encontrar resultados que él ya había obtenido.

Roberval y Mersenne encontraron los problemas de Fermat en ésta y en cartas subsecuentes sumamente difíciles y normalmente insolubles utilizando las técnicas usuales. Le pidieron divulgar sus métodos y Fermat envió Método para determinar Máximos y Mínimos y Tangentes a Líneas Curvas, su texto restaurado del mencionado clásico de Apolonio, y su enfoque algebraico de la geometría en Introducción a Lugares Geométricos Planos y Sólidos a los matemáticos de París.

Alcanzó rápidamente su reputación como uno de los más importantes matemáticos del mundo, pero sus intentos por publicar su obra fallaban, principalmente porque Fermat nunca quiso realmente poner su obra en una forma pulida. Sin embargo, algunos de sus métodos fueron publicados. Por ejemplo, Hérigone añadió a su obra fundamental Cursus matematicus un suplemento que contenía los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos. La correspondencia cada vez más amplia entre Fermat y otros matemáticos no siempre obtuvo elogio universal. Frenicle de Bessy se sintió molesto con los problemas de Fermat, pues para él eran imposibles de resolverse. Le escribió muy disgustado a Fermat, pero aunque éste le dio más detalles en su respuesta, Frenicle de Bessy sintió que Fermat lo estaba hostigando.

Sin embargo, Fermat pronto se involucró en una controversia con un matemático de mayor talla que Frenicle de Bessy. Después de que Beaugrand le enviara una copia de La Dioptrique de Descartes, Fermat puso poca atención, ya que estaba en medio de una nutrida correspondencia con Roberval y Etienne Pascal sobre métodos de integración, y los estaba utilizando para hallar centros de gravedad. Mersenne le pidió que le diera una opinión sobre La Dioptrique a lo cual Fermat respondió describiéndola como andar a tientas en las sombras.

Afirmó que Descartes no había deducido correctamente la ley de la refracción puesto que estaba ya implícita en sus hipótesis. Poco es decir que Descartes estaba disgustado. Descartes pronto encontró una buena razón para sentirse aun más enojado, puesto que percibió en la obra de Fermat sobre máximos, mínimos y tangentes una disminución de la importancia de su propia obra La Géométrie, de la que Descartes se sentía de lo más orgulloso y con la que trataba de mostrar lo que se podía obtener a partir de su Discours de la méthode.

Descartes atacó el método de máximos, mínimos y tangentes de Fermat. Roberval y Etienne Pascal se involucraron en la disputa, y posteriormente también lo hizo Desargues, a quien Descartes pidió que actuara como árbitro. Fermat probó que estaba en lo correcto y finalmente Descartes acabó por admitirlo y escribió:

… al ver el último método que utiliza para encontrar tangentes a líneas curvas, no puedo responder más que diciendo que es muy bueno y que, si lo hubiese usted explicado de esta manera desde el principio, no lo habría impugnado en lo más mínimo.

Pero esto no terminó con el asunto, puesto que Descartes trató de dañar la reputación de Fermat. Por ejemplo, aunque le escribió a Fermat elogiando su obra sobre la determinación de la tangente a una cicloide (que es, en efecto, correcta), Descartes le escribió a Mersenne afirmando que era incorrecta y diciendo que Fermat era incapaz como matemático y como pensador. Descartes era importante y respetado y logró así dañar severamente la reputación de Fermat.

Más que nada se le recuerda a Fermat por su obra en teoría de números y, en particular, por el Último Teorema de Fermat. Escribió en el margen de la traducción de Bachet de la Arithmetica de Diofanto:

He descubierto una prueba verdaderamente notable para la cual este margen es demasiado pequeño para albergarla.

Estas notas marginales se dieron a conocer cuando su hijo Samuel publicó una edición de la traducción de Bachet de la Arithmetica de Diofanto con todo y las notas de su padre en 1670.

La correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se restableció en 1654, cuando Blaise Pascal, hijo de Etienne Pascal, le escribió para pedirle la confirmación acerca de sus ideas sobre probabilidad. Blaise Pascal sabía de Fermat por su padre, que había muerto tres años antes, y estaba bien al tanto de las sobresalientes capacidades matemáticas de Fermat. Su escasa correspondencia estableció la teoría de las probabilidades y por ello son ahora considerados  como cofundadores de esta materia. Sin embargo, al sentir su aislamiento y todavía queriendo adoptar su antiguo estilo de desafiar matemáticos, Fermat trató de cambiar su tema de estudio de la probabilidad a la teoría de los números. Pascal no tenía interés en eso, pero Fermat, sin darse cuenta de ello, le escribió a Carcavi diciendo:

Me agrada haber tenido opiniones convergentes con las de M. Pascal, pues siento una estimación infinita por su genialidad… ustedes dos pueden encargarse de esa publicación, de la cual apruebo que ustedes sean los editores, pueden aclarar o complementar lo que les parezca demasiado conciso y relevarme de una carga que mis obligaciones impiden que asuma yo.

Sin embargo, Pascal ciertamente no iba a editar la obra de Fermat, así que después de este destello de deseos de ver su obra publicada, Fermat abandonó la idea. Entonces continuó con mayor ímpetu que antes con sus desafiantes problemas, y planteó como insolubles dos problemas matemáticos a colegas franceses, ingleses, holandeses y de toda Europa.

Fermat planteó entre otros problemas, que la suma de dos cubos no puede ser un cubo (un caso especial del Último Teorema de Fermat que indicaría que a esa fecha Fermat se habría percatado de que su prueba del caso general era incorrecta); que hay exactamente dos soluciones enteras de x2 + 4 = y3; y que la ecuación x2 + 2 = y3 tiene sólo una solución entera. Planteó problemas directamente a los ingleses. Nadie parecía darse cuenta de que Fermat esperaba que sus problemas específicos llevarían a  descubrir, como él lo había hecho, resultados teóricos más profundos.

Por estas fechas uno de los estudiantes de Descartes recolectaba su correspondencia para publicarla, y se dirigió a Fermat para pedirle que lo asistiera con la correspondencia Fermat–Descartes. Esto llevó a Fermat a mirar nuevamente los argumentos que había utilizado veinte años atrás y recapacitó sobre sus objeciones a la óptica de Descartes. En particular, había estado descontento con la descripción que daba Descartes de la refracción de la luz, y ahora estableció un principio que de hecho establece la ley de los senos para la refracción, que Snell y Descartes habían propuesto. Sin embargo, Fermat la había deducido ahora de una propiedad fundamental que él mismo propuso, a saber, que la luz siempre sigue la trayectoria más rápida posible (braquistocrona). El principio de Fermat, ahora una de las propiedades más básicas de la óptica, no encontró apoyo entre los matemáticos de entonces.

En 1656 Fermat había comenzado a intercambiar correspondencia con Huygens. Esto hizo crecer el interés de Huygens en la probabilidad y la correspondencia fue pronto manipulada por Fermat hacia temas de teoría de números. Este tema no fue del interés de Huygens, pero Fermat trató insistentemente y en su Nuevo Recuento sobre Descubrimientos en la Ciencia de los Números, enviado a Huygens a través de Carcavi en 1659, le reveló más de sus métodos de lo que había revelado a otros.

Fermat describió su método de descenso finito y dio un ejemplo de cómo utilizarlo para probar que todo número primo de la forma 4k + 1 podía escribirse como suma de dos cuadrados. Ya que si se supone que hubiese algún número de la forma 4k + 1 que no puede ser escrito como suma de dos cuadrados, entonces hay un número más pequeño nuevamente de la forma 4k + 1 que no se puede escribir como suma de dos cuadrados. Continuando el argumento llevaría a una contradicción. Lo que Fermat no pudo explicar en esta carta es cómo construir el número más pequeño a partir del mayor. Se supone que Fermat sabía como efectuar este paso, pero nuevamente su error de no divulgar el método hizo que los matemáticos perdieran interés. No fue hasta que Euler se interesó en estos problemas que los pasos faltantes se establecieron.

Fermat puede describirse como:

Reservado y taciturno, no le gustaba hablar de sí mismo y estaba poco dispuesto a revelar demasiado sobre su pensamiento. … Sus ideas por originales y novedosas que fueran, abarcaban una gama de posibilidades limitadas por su época [1600-1650] y su lugar [Francia].

Carl B. Boyer dice:

El reconocimiento del significado de la obra de Fermat en análisis fue tardío, en parte debido a que se apegaba a un sistema de símbolos matemáticos diseñado por François Viète, notaciones que ya Descartes en su Geométrie había declarado hacía mucho como obsoletas. La desventaja impuesta por las notaciones impropias ocasionaron poco daño en el campo favorito de estudio de Fermat, la teoría de números, pero aquí, desafortunadamente, no encontró ningún socio de correspondencia que compartiese su entusiasmo.

Fuente

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Ideas:

La mayoría de la gente, traumatizada por las malas experiencias escolares con la asignatura,sabe muy bien que las matemáticas son la disciplina más meticulosa y exigente, pero pocos llegan a apreciar que es la más liberadora e imaginativa de las actividades humanas. La precisión absoluta es el precio que hay que pagar por la libertad de soñar con sentido

(Donald O’Shea)

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